Home Behoudfactor Lichtplan Masthoogte Maststerkte Multilayer Rekenrasters Rendement

Vermogen

Armaturen voor sportverlichting gebruiken vaak 400V krachtstroom. We willen dan graag twee dingen weten:

• wat is het opgenomen vermogen?
• hoe is de verdeling over de drie fasen?

We willen graag weten wat het vermogen is om dat te vergelijken met wat de installateur of leverancier heeft opgegeven. We willen ook graag dat de armaturen zo goed mogelijk over de drie fasen verdeeld zijn voor a) een zo laag mogelijk blindvermogen en b) zo laag mogelijke kabelverliezen.

Idealiter zit er in de meterkast voor elk sportveld een kWh-meter die naast het verbruik (kWh) ook het vermogen (kW) en de stromen I₁, I₂ en I₃ toont. Maar als we zo'n meter niet hebben dan kunnen we met een stroomtang een en ander ook bepalen.

Met de stroomtang meten we de stromen I₁, I₂ en I₃ van het sportveld in de meterkast. Dan weten we gelijk hoe goed de armaturen over de drie fasen zijn verdeeld.

Maar hoe bereken we nu het vermogen? Die ogenschijnlijke simpele vraag heeft een complex antwoord. Vandaar dat we hieronder de nodige uitleg geven over krachtstroom. Om het gemakkelijk te maken geven we een calculator waarmee onder andere het vermogen berekend kan worden.

Calculator

Voor het gebruik van de calculator:

• vul I₁, I₂ en I₃ of P₁₂, P₁₃ en P₂₃ in
• pas eventueel U₄₀₀, Kabelverlies, Cos(φ) en Capacitief of Inductief aan
• klik op de Bereken! knop

Capacitief: een negatieve φ (verlichting en elektronica). Inductief: een positieve φ (elektromotoren en transformatoren).

I1 (A)		I2 (A)		I3 (A)
P12 (W)		P13 (W)		P23 (W)
U400 (V)		Kabelverlies (%)
Cos(φ)		Capacitief		Inductief
Bereken!
U12 (A)		U13 (A)		U23 (A)
I12 (A)		I13 (A)		I23 (A)
P12 (W)		P13 (W)		P23 (W)
I1 (A)		I2 (A)		I3 (A)
φ1 (°)		φ2 (°)		φ3 (°)
V1 (W)		V2 (W)		V3 (W)
P1 (W)		P2 (W)		P3 (W)
Q1 (VAr)		Q2 (VAr)		Q3 (VAr)
S1 (VA)		S2 (VA)		S3 (VA)
P (W)		Q (VAr)		S (VA)
V (W)		Cos(Φ)

Definities en naamgeving

We gebruiken de volgende definities en naamgeving:

• U₄₀₀ = spanning in meterkast (V)
• Cos(φ) = arbeidsfactor apparatuur
• L₁ = lijn1 (bruine ader), L₂ = lijn2 (zwarte ader), L₃ = lijn3 (grijze ader)
• U₁ = spanning van L₁ (V)
• U₁₂ = spanning tussen L₁ en L₂ (V)
• I₁ = stroom van L₁ (A)
• I₁₂ = stroom tussen L₁ en L₂ (A)
• P₁ = actief vermogen van L₁ (W)
• P₁₂ = actief vermogen tussen L₁ en L₂ (W)
• V₁ = kabelverlies vanaf L₁ (W)
• φ₁ = faseverschil tussen spanning U₁ en stroom I₁
• Q₁ = reactief vermogen van L₁ (W)
• S₁ = schijnbaar vermogen van L₁ (W)
• P = totaal actief vermogen (W)
• Q = totaal reactief vermogen (VAr)
• S = totaal schijnbare vermogen (VA)
• V = totaal kabelverlies (W)
• Cos(Φ) = cos(φ) van het totaal

Drie fasen stroomnetwerk

Het stroomnetwerk wekt spanning op door een magneet 360 graden rond te draaien tussen drie spoelen. Als de magneet langs een spoel gaat wordt door de noord- of zuidpool van de magneet telkens een positieve of negatieve spanning in de spoel opgewekt: wisselspanning. Sluiten we een apparaat aan dan gaat er een stroom lopen die door de wisselende spanning telkens van richting verandert: wisselstroom. De frequentie van het stroomnetwerk is 50 Hz, de spanning en stroom wisselen 50 keer per seconde.

Vanuit de drie spoelen hebben we drie stroomdraden die de spanning en stroom in het stroomnetwerk leveren. We duiden ze aan met L₁, L₂ en L₃ (lijn1, lijn2 en lijn3).

De spanning U en de stroom I hebben een sinusvormig verloop, maar de drie spoelen verschillen 120 graden in fase. De drie fasen bereiken 120 graden na elkaar hun maximale en minimale waarde.

U₁: maximaal bij 90 graden. U₂: maximaal bij 210 graden (120 graden later). U₃: maximaal bij 330 graden (nog eens 120 graden later). Dit verschil in fase speelt bij krachtstroom een belangrijke rol zoals we zullen zien.

Driehoekschakeling

Vaak sluiten we apparatuur aan tussen een fase (L₁, L₂ of L₃) en nul (N). Het spanningsverschil tussen een fase en nul is 230V. We kunnen daarvoor geschikte apparatuur echter ook aansluiten tussen twee fasen. We hebben dan een zogenaamde driehoekschakeling.

Apparatuur is hier aangesloten tussen L₁ en L₂, L₁ en L₃ of L₂ en L₃. Het spanningsverschil tussen twee fasen is 400V en vanwege de hogere spanning noemen we dit krachtstroom.

Spanning U_xy: grootte en fase

De spanning U_xy tussen L_x en L_y heeft een andere grootte en andere fase dan de spanningen U_x en U_y. Met wat wiskunde kunnen we grootte en fase uitrekenen.

We hebben:

• U₁ = 230V × sin(x)
• U₂ = 230V × sin(x-120)
• U₃ = 230V × sin(x-240)

We kunnen de grootte en fase van U_xy (U_x-U_y) uitrekenen met behulp van de volgende goniometrische formule:

• sin(x) - sin(y) = 2 × sin((x-y)/2) × cos((x+y)/2)

We krijgen dan (230V weggelaten voor de leesbaarheid):

• U₁₂ = U₁-U₂ = sin(x) - sin(x-120) = 2 × sin(60) × cos(x-60) = √3 × cos(x-60) = √3 × sin(150-x) = √3 × sin(x+30)
• U₁₃ = U₁-U₃ = sin(x) - sin(x-240) = 2 × sin(120) × cos(x-120) = √3 × cos(x-120) = √3 × sin(210-x) = √3 × sin(x-30)
• U₂₁ = U₂-U₁ = sin(x-120) - sin(x) = 2 × sin(-60) × cos(x-60) = -√3 × cos(x-60) = -√3 × sin(150-x) = √3 × sin(x-150)
• U₂₃ = U₂-U₃ = sin(x-120) - sin(x-240) = 2 × sin(60) × cos(x-180) = √3 × cos(x-180) = √3 × sin(270-x) = √3 × sin(x-90)
• U₃₁ = U₃-U₁ = sin(x-240) - sin(x) = 2 × sin(-120) × cos(x-120) = -√3 × cos(x-120) = -√3 × sin(210-x) = √3 × sin(x-210)
• U₃₂ = U₃-U₂ = sin(x-240) - sin(x-120) = 2 × sin(-60) × cos(x-180) = -√3 × cos(x-180) = -√3 × sin(270-x) = √3 × sin(x-270)

We zien hier waarom de spanning tussen twee fasen 400V wordt. De sinus functie wordt immers √3 groter (en 230V × √3 = 400V).

We zien ook dat de fasen van U_xy en U_yx tegenovergesteld zijn, ze verschillen 180 graden.

Spanning U_x en U_xy: faseverschillen

De spanning U_xy heeft dus een andere fase dan de spanningen U_x en U_y. We hebben de volgende faseverschillen:

• U₁-U₁₂ = sin(x) - sin(x+30) => -30 graden
• U₁-U₁₃ = sin(x) - sin(x-30) => +30 graden
• U₂-U₂₁ = sin(x-120) - sin(x-150) => +30 graden
• U₂-U₂₃ = sin(x-120) - sin(x-90) => -30 graden
• U₃-U₃₁ = sin(x-240) - sin(x-210) => -30 graden
• U₃-U₃₂ = sin(x-240) - sin(x-270) => +30 graden

Bij een symmetrische belasting vallen deze faseverschillen tegen elkaar weg, maar bij een asymmetrische belasting blijft er een faseverschil over.

Stroom I_x: grootte en fase

De stroom I_xy heeft dezelfde fase als spanning U_xy, tenzij de cos(φ) van de aangesloten apparatuur kleiner dan 1 is en een faseverschuiving veroorzaakt. De faseverschuiving φ kan zowel positief (inductief) als negatief (capacitief) zijn.

We kunnen de grootte en fase van stroom I_x uitrekenen met behulp van de volgende goniometrische formule:

• gegeven: C × sin(x+c) = A × sin(x+a) + B × sin(x+b)
• dan is grootte: C² = A² + B² + 2 × A × B × cos(a-b)
• en fase: tan(c) = (A × sin(a) + B × sin(b)) / (A × cos(a) + B × cos(b))

Voor I₁ (waarin I₁₂ en I₁₃ samenkomen):

• I₁ × sin(x+φ₁) = I₁₂ × sin(x+30+φ) + I₁₃ × sin(x-30+φ)
• I₁² = I₁₂² + I₁₃² + 2 × I₁₂ × I₁₃ × cos(30+φ+30-φ) = I₁₂² + I₁₃² + I₁₂ × I₁₃
• I₁ = √ (I₁₂² + I₁₃² + I₁₂ × I₁₃ )
• tan(φ₁) = (I₁₂ × sin(30+φ) + I₁₃ × sin(-30+φ)) / (I₁₂ × cos(30+φ) + I₁₃ × cos(-30+φ))
• indien φ nul is: tan(φ₁) = (I₁₂ - I₁₃) / ((I₁₂ + I₁₃) × √3)

Voor I₂ (waarin I₂₁ en I₂₃ samenkomen):

• I₂ × sin(x-120+φ₂) = I₂₁ × sin(x-150+φ) + I₂₃ × sin(x-90+φ)
• ofwel: I₂ × sin(x+φ₂) = I₂₁ × sin(x-30+φ) + I₂₃ × sin(x+30+φ)
• I₂² = I₂₁² + I₂₃² + 2 × I₂₁ × I₂₃ × cos(-30+φ-30-φ) = I₂₁² + I₂₃² + I₂₁ × I₂₃
• I₂ = √ (I₂₁² + I₂₃² + I₂₁ × I₂₃)
• tan(φ₂) = (I₂₁ × sin(-30+φ) + I₂₃ × sin(30+φ)) / (I₂₁ × cos(-30+φ) + I₂₃ × cos(30+φ))
• indien φ nul is: tan(φ₂) = (I₂₃ - I₂₁) / ((I₂₁ + I₂₃) × √3)

Voor I₃ (waarin I₃₁ en I₃₂ samenkomen):

• I₃ × sin(x-240+φ₃) = I₂₁ × sin(x-270+φ) + I₂₃ × sin(x-240+φ)
• ofwel: I₃ × sin(x+φ₃) = I₃₁ × sin(x-30+φ) + I₃₂ × sin(x+30+φ)
• I₃² = I₃₁² + I₃₂² + 2 × I₃₁ × I₃₂ × cos(-30+φ-30-φ) = I₃₁² + I₃₂² + I₃₁ × I₃₂
• I₃ = √ (I₃₁² + I₃₂² + I₃₁ × I₃₂)
• tan(φ₃) = (I₃₁ × sin(30+φ) + I₃₂ × sin(-30+φ)) / (I₃₁ × cos(30+φ) + I₃₂ × cos(-30+φ))
• indien φ nul is: tan(φ₃) = (I₃₁ - I₃₂) / ((I₃₁ + I₃₂) × √3)

We zien dat φ₁ = φ₂ = φ₃ bij een symmetrische belasting (I₁₂ = I₂₁ = I₁₃ = I₃₁ = I₂₃ = I₃₂). Is φ daarbij 0 dan zijn φ₁, φ₂ en φ₃ ook 0.

We zien ook dat stroom I_x qua grootte niet gelijk is aan de som van I_xy en I_xz, maar lager wordt vanwege de faseverschillen tussen I_xy en I_xz. Stromen met verschillende fasen kun je niet simpel optellen!

Vector diagram

Voor de liefhebber: de hierboven gebruikte goniometrische formule kan met een vector diagram inzichtelijk gemaakt worden.

We hebben spanning U_a en stromen I₁ en I₂ die samenkomen in stroom I_a. Stromen I₁, I₂ en I_a hebben respectievelijk faseverschillen φ₁, φ₂ en φ_a met spanning U_a.

We zien nu dat:

• X_a = X₁ + X₂ = I₁ × cos(φ₁) + I₂ × cos(φ₂)
• Y_a = Y₁ + Y₂ = I₁ × sin(φ₁) + I₂ × sin(φ₂)
• I_a² = X_a² + Y_a² = (I₁ × cos(φ₁) + I₂ × cos(φ₂))² + (I₁ × sin(φ₁) + I₂ × sin(φ₂))² = I₁² × cos(φ₁)² + I₂² × cos(φ₂)² + 2 × I₁ × I₂ × cos(φ₁) × cos(φ₂) + I₁² × sin(φ₁)² + I₂² × sin(φ₂)² + 2 × I₁ × I₂ × sin(φ₁) × sin(φ₂) = I₁² × (cos(φ₁)² + sin(φ₁)²) + I₂² × (cos(φ₂)² + sin(φ₂)²) + 2 × I₁ × I₂ × (cos(φ₁ × cos(φ₂) + sin(φ₁ × sin(φ₂)) = I₁² + I₂² + 2 × I₁ × I₂ × (cos(φ₁ - cos(φ₂))
• tan(φ_a) = Y_a / X_a = (I₁ × sin(φ₁) + I₂ × sin(φ₂)) / (I₁ × cos(φ₁) + I₂ × cos(φ₂))

Vermogen

We onderscheiden de volgende soorten vermogen:

• P = actief vermogen = U × I × cos(φ) (eenheid: W)
• Q = reactief vermogen = U × I × sin(φ) (eenheid: VAr)
• S = schijnbaar vermogen = U × I (eenheid: VA)

Hierbij is φ het faseverschil tussen spanning en stroom. Cos(φ) wordt ook wel de arbeidsfactor of power factor genoemd.

Het schijnbare vermogen S is het door het stroomnetwerk geleverde vermogen.

Het actieve vermogen P is het vermogen dat aangesloten apparaten opnemen. Het wordt ook wel het opgenomen vermogen, het werkelijke vermogen, het effectieve vermogen of het arbeidsvermogen genoemd.

Het reactieve vermogen Q is negatief vermogen dat terug het stroomnetwerk in gaat en niet benut kan worden. Het belast echter wel het stroomnetwerk en vandaar dat netbeheerders er toch kosten voor in rekening kunnen brengen. Het reactieve vermogen wordt meestal blindvermogen genoemd.

De relatie tussen de vermogens is:

• P² + Q² = U² × I² × cos(φ)² + U² × I² × sin(φ)² = U² × I² × (cos(φ)² + sin(φ)²) = U² × I² = S²

Blindvermogen

Blindvermogen is negatief vermogen dat niet benut kan worden. Dat kunnen we beter zien als we naar de sinusvorm van het vermogen kijken:

Hierboven het vermogen zonder faseverschil tussen spanning en stroom. De blauwe lijn is het verloop van het vermogen, de rode lijn het gemiddelde (het actieve vermogen). De blauwe lijn beweegt hier tussen 0 en 1. Het actieve vermogen is altijd positief (spanning en stroom zijn ofwel beiden positief ofwel beiden negatief). Terzijde: de frequentie van het vermogen is twee keer die van spanning en stroom, per cyclus van 360 graden worden de maximale en minimale waarde twee keer in plaats van één keer bereikt.

Hierboven het vermogen met 60 graden faseverschil tussen spanning en stroom. De blauwe lijn beweegt nu tussen -0.25 en 0.75. We zien dat het vermogen af en toe negatief wordt, dat is het blindvermogen dat niet benut kan worden. We zien ook dat het gemiddelde vermogen de helft lager is (0.25 in plaats van 0.50). Het verschil is cos(60) = 0.5.

Blindvermogen is inductief (positief faseverschil, stroom loopt voor op spanning) of capacitief (negatief faseverschil, stroom loopt achter op spanning). Hierboven vermogen zonder faseverschil (blauwe lijn), inductief blindvermogen (rode lijn) en capacitief blindvermogen (groene lijn).

Arbeidsfactor

Elektrische apparaten kunnen een faseverschil tussen spanning en stroom veroorzaken wat blindvermogen tot gevolg heeft. Meestal wordt het faseverschil veroorzaakt door magnetische velden die de apparaten opwekken.

We onderscheiden twee soorten:

• Inductief blindvermogen
  Dit betreft meestal apparaten met spoelen zoals elektromotoren en transformatoren. De stroom loopt achter op de spanning wat een blindvermogen met een positief faseverschil oplevert.
• Capactief blindvermogen
  Dit betreft meestal apparaten met condensatoren zoals verlichting en elektronica. De stroom loopt voor op de spanning wat een blindvermogen met een negatief faseverschil oplevert.

Het faseverschil tussen spanning en stroom wordt aangeduid met φ, deze kan positief (stroom loopt achter op spanning) of negatief (stroom loopt voor op spanning) zijn. De cos(φ) is de verhouding tussen arbeidsvermogen en schijnbaar vermogen, zowel bij een negatieve als positieve φ is cos(φ) een factor tussen 0 en 1.

Stroom optellen?

Van stromen mag alleen de som genomen worden als ze dezelfde fase hebben.

Stel we hebben een sportveld met 8 armaturen van 1600W. In de meterkast zit voor elk kwart veld een installatieautomaat. We meten de stroom van elke installatieautomaat. Voor (I₁, I₂, I₃) meten we respectievelijk (6.93A, 4A, 4A), (4A, 6.93A, 4A), (4A, 4A, 6.93A) en (6.93A, 4A, 4A) met elk 3200W vermogen. Het totaal vermogen is dan 4 × 3200W = 12800W.

Zouden we de stromen optellen dan krijgen we (21.86A, 18.93A, 18.93A) en dat geeft een vermogen van 13755W. Maar dat is niet juist. Als we het hele veld zouden meten dan zouden we namelijk (20.78A, 17.44A, 17.44A) meten. Als we het totaal meten dan blijkt door faseverschillen de resulterende stroom lager dan de som van de stromen.

Kabelverlies

Kabels worden warm als er een stroom doorheen gaat en hierdoor gaat vermogen verloren. Het verlies is P = R × I², waarbij R de weerstand van de kabel is. De weerstand is afhankelijk van het soort materiaal, de dikte en de lengte van de kabel.

Koper heeft een soortelijke weerstand van 0.0175 Ωm/mm². De weerstand van een koperen kabel is derhalve R = L × 0.0175 / A, waarbij L de lengte in meters is en A de doorsnede van de ader in mm². Voor een 10 mm² kabel van 200 meter geeft dat bijvoorbeeld 0.35Ω. Hoe dikker de kabel, hoe kleiner het kabelverlies. Hoe langer de kabel, hoe groter het kabelverlies.

Kabelverliezen uiten zich door een lagere spanning. Stel dat R = 0.4Ω en I = 15A. Dan is het vermogensverlies P = 0.4 × 15² = 90W en het spanningverlies U = P / I = 90W / 15A = 6V (de spanning daalt 6V over de lengte van de kabel). We hebben dan 224V ipv 230V (en 390V ipv 400V tussen twee fasen). Volgens de norm NEN 1010 mag het spanningsverlies maximaal 5% zijn, maar voor sportverlichting wordt aanbevolen het onder de 3% te houden. Dat kan door voldoende dikke kabels te gebruiken.

We willen graag het vermogen zo evenredig mogelijk over de drie fasen verdelen om kabelverliezen zo klein mogelijk te houden. Stel we hebben enerzijds een symmetrische verdeling met drie keer 4000W en anderzijds een asymmetrische verdeling met 2000W, 4000W en 6000W. In het eerste geval zijn de stromen elk 17.15A. In het tweede geval zijn de stromen 13.11A, 17.81A en 21.54A. De kabelverliezen verhouden zich als 17.15² + 17.15² + 17.15² = 884 en 13.11² + 17.81² + 22.54² = 953. De asymmetrische verdeling geeft dus wat meer verlies.

Door kabelverliezen neemt het opgenomen vermogen van aangesloten apparatuur kwadratisch af. De spanning over aangesloten apparatuur neemt af en daardoor neemt ook de stroom af. Stel de kabelverliezen zijn 3%. De spanning wordt 0.97 kleiner, evenals de stroom. Het vermogen P = U × I wordt dan 0.97 × 0.97 = 0.941 kleiner. Vanwege dit kwadratische effect willen we kabelverliezen graag klein houden.

Contact

Vragen? Neem via gerust contact op.